Brechung (2024)

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Unterabschnitte

Totalreflexion
Dispersion

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1032])

Da jede Huygenssche Elementarwelle eine periodische Schwingung mit einer gegebenen Frequenz darstellt, ändert sich die Frequenz beim Übergang von einem Medium in das zweite nicht. Da dieAusbreitungsgeschwindigkeit kleiner ist, gilt für die Wellenlänge

(3.5)

In einem Medium mit einer Brechzahl ist die Wellenlänge kleiner. So hat rotes Licht in Glas die Wellenlänge .

Geometrie der Brechung

Wir betrachten nun den Weg, den das Licht im Inneren eines Mediums zurücklegt. Wir berücksichtigen, dass dieGeschwindigkeit im Medium um den Brechungsindex kleiner ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieckwissen wir, dass


			(3.6)

Weiter ist


			(3.7)

Also gilt

(3.8)

Wir kürzen mit

und setzen

und

und erhalten dasSnellius'sche Brechungsgesetz.

Materialien

Folien zur Vorlesung am 24. 04. 2002 (PDF)

Totalreflexion

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1035]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 485])

Transport von Licht in einer Stufenindexfaser

Wenn Licht mit einem Winkel nahe der Achse der optischen Faser in diese eingekoppelt wird, dann wird dasLicht mit Totalreflexion transportiert. Nur Licht, das innerhalb des Akzeptanzwinkels den Faserkerntrifft, wird weitertransportiert. Wenn die faser gekrümmt wird, dann verlässt ein Teil des Lichtes die Faser:Krümmungen in der Faser erhöhen die Verluste.

Wenn der Faserkern den Durchmesser hat, ist der effektive Weg vom Winkel gegen die Achseabhängig. Die Hypothenuse ist lang, der direkte Weg wäre . Dierelative Längenänderung ist

(3.10)

Die Laufzeit hängt also davon ab, wie das Licht durch eine Glasfaser läuft. Zusätzlich trittDispersion auf. bei allen Gläsern ist

(3.11)

Deshalb ist die Laufzeit für die verschiedenen Farben auch unterschiedlich. Da

ist ist auch

(3.12)

Dispersion

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1038])

Im allgemeinen Falle hängt die Phasengeschwindigkeit einer Welle von der Frequenz und vom Medium ab. Dasheisst für Licht, dass jede Farbe eine eigene Ausbreitungsgeschwindigkeit hat.

See Also

Licht – Taucherpedia

Links: Strahlengang durch ein Prisma. Rechts: Dispersion einiger Materialien

Durch die Dispersion des Lichtes, das heisst, dass die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, werden dieverschiedenen Farben unterschiedlich gebrochen. Jedesmal, wenn Licht durch die Grenzfläche Luft-Materie geht,werden unterschiedliche Farben unterschiedlich gebrochen. Dies bewirkt die folgenden Effekte:

die Chromatische Aberration bei Linsen (Farbsäume)
die Möglichkeit, ein Prisma als Spektralapparat zu verwenden
das Auseinanderlaufen von Signalen in Glasfasern
der Regenbogen

Federmodell für die Dispersion nach (Siehe Känzig, Mechanik und Wellenlehre[Kän78, 292]) .

Wir betrachten eine longitudinale Welle auf einem Feder-Masse-System. Die Bewegungsgleichung für die n-teMasse ist

(3.13)

analog zur Gleichung für ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen Frequenzen schwingenalle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die gleichsinnige Bewegung aller Massen dietiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche Anzahl Massen annehmen, null ist. Die maximale Frequenzerhält man dann, wenn jeweils zwei benachbarte Massen gegensinnig schwingen. Eine höher Schwingungsfrequenzist nicht möglich. Die minimale Wellenlänge ist

und entsprechend

. Wir setzen

und erhalten

(3.14)

Wir setzen als vorläufige Lösung für

an:

. Da die Schwingung nurfür diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir

und erhalten als endgültigen Lösungsansatz

(3.15)

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir




			(3.16)

Für lange Wellen oder ist . Damit ist .
Mit der Definition der Phasengeschwindigkeit erhalten wir

Die Gruppengeschwindigkeit ist
Für Wellen mit ist die Phasengeschwindigkeit

und die Gruppengeschwindigkeit
Für wird die Welle exponentiell gedämpft.

Dispersionsrelation für Federketten mit zwei unterschiedlichen Atomen.

Wenn eine Federkette mit einer regelmässigen Anordnung zweier ungleicher Massen gebildet wird, tritt zum vonden vorherigen Ausführungen bekannten akustischen Zweig ein optischer Zweig. Zusätzlich gibt esFrequenzen, für die es keinen reellen -Vektor gibt. Diese Frequenzen (oder über auchdiese Energien) sind keine propagierenden Wellen möglich. Gibt es neben longitudinalen auch transversaleWellen, zeigt die Dispersionsrelation nicht einen sondern drei Zweige akustischer Phononen.

Schwerewellen im tiefen Wasser haben die Dispersionsbeziehung

(3.17)

Eine Konsequenz ist, dass sehr lange Wellen sehr schnell sind (Bsp. Tsunamis)

Dann ist

Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog zurModulation^3.2 besteht ein Puls aus einerEinhüllenden sowie einer Phase, die für sich aber keine Information trägt. Eine längereRechnung[Kän78] ergibt, dass die resultierende Wellenfunktion aus harmonischen Welle sowie der Modulation . Die resultierendeWelle ist

(3.18)

Bei unserem Feder-Masse-System ist wenn ist. Das heisst, der Puls, der die Informationträgt, ist ortsfest. Wenn nicht konstant ist, bewegen verändert sich die Form des Pulses, dadie verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell ausbreiten.

Lösungsmöglichkeiten

Dispersionskompensation. Sie ist aufwendig und wird hauptsächlich bei Kurzpuls-Lasersystemen angewandt.
Betrieb des Systems bei einer Wellenlänge, bei der die Dispersion minimal, also möglichst konstant ist. Dies wird bei der optischen Kommunikation angewandt (Wellenlängen 1300 nm und 1500 nm).
Man setzt die Datenrate auf niedrigere Werte, verbreitert also die Pulse und minimiert so die Fehler durch die Dispersion. Bis zu einer Verringerung der übertragenen Datenrate um den Faktor 2 kann der Geschwindigkeitsverlust meist durch die Anwendung von Kompressionsalgorithmen minimiert werden.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm